Algebraische Topologie - download pdf or read online

By Prof. Dr. Karl Heinz Mayer (auth.)

ISBN-10: 3034892691

ISBN-13: 9783034892698

ISBN-10: 3764322292

ISBN-13: 9783764322298

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3. Da (]J kein Intervall aus Dl mit wenigstens zwei Punkten enthiilt, ist K( q) = {q}. 14 Satz. Fur jede stetige Abbildung f : X - t Y eines topologischen Raumes X in einen topologischen Raum Y gilt: Das Bild jeder Zusammenhangskomponente aus X liegt in einer Zusammenhangskomponente aus Y. Wenn f ein Homoomorphismus ist, induziert f eine bijektive Abbildung zwischen den Zusammenhangskomponenten. Entsprechende Zusammenhangskomponenten werden dann unter f homoomorph aufeinander abgebildet. 9 zusammenhangend, und daher ist f(K(X» C K(f(x».

Nach Definition einer Topologie sind X und 0 gleichzeitig offen und abgeschlossen. Wenn U eine Teilmenge von X ist, die gleichzeitig offen und abgeschlossen ist und U I- 0 und U I- X gilt, dann ist un CU = 0, U U CU = X, und X ist nicht zusammenhangend. Also gilt (i) nicht. (ii) :::} (iii): Es wird angenommen, da13 (iii) nicht gilt. Y sei ein diskreter Raum mit wenigstens zwei Elementen, und f : X - t Y sei eine stetige surjektive Abbildung. Fur jedes y E Y ist f-l(y) I- 0 und f-l(y) I- X, aber f-l(y) ist offen und abgeschlossen.

B) Wenn f ein Homoomorphismus ist, dann gilt fiir jedes x EX, daB f(K(x» C K(f(x» und f-l(K(f(x») C K(x), also auch K(f(x» C f(K(x» und damit f(K(x» = K(J(x». Mit werde die von f induzierte Abbildung der Zusammenhangskomponenten bezeichnet, die definiert ist durch flK(x}) = K(J(x». Entsprechend wird f- 1 definiert. Man rechnet nach, daB fund f- 1 zueinander invers sind. Es ist klar, daB fIK(x) ein Homoomorphismus von K(x) auf K(J(x» ist. 15 Bemerkung. Dieser vollig triviale Satz liefert ein erstes Beispiel dafiir, wie man ein topologisches Problem umformulieren kann, in diesem Falle in ein mengentheoretisches Problem.

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by Ronald
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